全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$、集合 $B = \{2, 3, 5, 9, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$、集合 $B = \{2, 3, 5, 9, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A} = \{x \in U | x \notin A\}$

$A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$ なので、

$\overline{A} = \{3, 5, 7, 9, 10\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。まず、$\overline{B}$ を求めます。

$\overline{B} = \{x \in U | x \notin B\}$

$B = \{2, 3, 5, 9, 10\}$ なので、

$\overline{B} = \{1, 4, 6, 7, 8\}$

$A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$ と $\overline{B} = \{1, 4, 6, 7, 8\}$ の共通部分は、

$A \cap \overline{B} = \{1, 4, 6, 8\}$

(3) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合です。まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ or } x \in B\}$

$A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$ と $B = \{2, 3, 5, 9, 10\}$ の和集合は、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{A \cup B} = \{x \in U | x \notin A \cup B\}$

$\overline{A \cup B} = \{7\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 7, 9, 10\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 4, 6, 8\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{7\}$