A, B, C, D, E, F, Gの7人が1列に並ぶときの並び方について、以下の4つの条件を満たす場合の数を求める。 (ア) AとBが隣り合う。 (イ) AとGが両端にくる。 (ウ) A, B, Cの3人が隣り合う。 (エ) A, Bの2人が間に2人だけを挟む。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F, Gの7人が1列に並ぶときの並び方について、以下の4つの条件を満たす場合の数を求める。

(ア) AとBが隣り合う。

(イ) AとGが両端にくる。

(ウ) A, B, Cの3人が隣り合う。

(エ) A, Bの2人が間に2人だけを挟む。

2. 解き方の手順

(ア) AとBを1つの塊とみなすと、並べるものは6つになる。それらの並び方は6!通り。AとBの並び順はABとBAの2通り。したがって、求める場合の数は $6! \times 2$。

(イ) AとGを両端に固定すると、残りの5人の並び方は5!通り。AとGの並び順はAGとGAの2通り。したがって、求める場合の数は $5! \times 2$。

(ウ) A, B, Cを1つの塊とみなすと、並べるものは5つになる。それらの並び方は5!通り。A, B, Cの並び順は3!通り。したがって、求める場合の数は $5! \times 3!$。

(エ) AとBの間に2人挟むことを考えます。

まずAとBの間に入れる2人を選びます。5人から2人を選ぶので、$_5P_2$通りあります。A,Bの並び方はABとBAの2通り。AとBの間の2人とA,Bを一つの塊と考えると合計5つの塊を並べることになります。並べ方は5!通り。

したがって求める場合の数は $_5P_2 \times 2 \times 5! = \frac{5!}{3!} \times 2 \times 5! = 20 \times 2 \times 120 = 4800$

3. 最終的な答え

(ア) $6! \times 2 = 720 \times 2 = 1440$通り

(イ) $5! \times 2 = 120 \times 2 = 240$通り

(ウ) $5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$通り

(エ) $4800$通り