空間座標において、原点O、点A(2, 3, 1)、点B(-2, 1, 3) が与えられている。ベクトルOCがベクトルOAとベクトルOBに垂直であり、$|OC| = \sqrt{3}$ かつ点Cのx座標が正であるとき、点Cの座標を求める問題。

1. 問題の内容

空間座標において、原点O、点A(2, 3, 1)、点B(-2, 1, 3) が与えられている。ベクトルOCがベクトルOAとベクトルOBに垂直であり、$|OC| = \sqrt{3}$ かつ点Cのx座標が正であるとき、点Cの座標を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、点Cの座標を (x, y, z) とおく。

ベクトルOCがベクトルOAとベクトルOBに垂直であることから、内積が0になる。

$OC \cdot OA = 0$

$OC \cdot OB = 0$

$OC = (x, y, z)$

$OA = (2, 3, 1)$

$OB = (-2, 1, 3)$

$OC \cdot OA = 2x + 3y + z = 0$ ...(1)

$OC \cdot OB = -2x + y + 3z = 0$ ...(2)

(1) + (2) より、

$4y + 4z = 0$

$y = -z$

これを (1) に代入すると、

$2x - 3z + z = 0$

$2x - 2z = 0$

$x = z$

したがって、$OC = (z, -z, z)$ と表せる。

次に、$|OC| = \sqrt{3}$ より、

$\sqrt{z^2 + (-z)^2 + z^2} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3z^2} = \sqrt{3}$

$3z^2 = 3$

$z^2 = 1$

$z = \pm 1$

点Cのx座標が正であるという条件から、x = z > 0 であるので、$z = 1$。

したがって、x = 1, y = -1, z = 1

3. 最終的な答え

点Cの座標は (1, -1, 1)