三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = x$, $CA = 5$であり、$\angle A < \angle C$が成り立つとき、$x$の取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = x$, $CA = 5$であり、$\angle A < \angle C$が成り立つとき、$x$の取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の成立条件から、$x$の範囲を求める。三角形の成立条件は、任意の2辺の和が残りの1辺より大きいことである。したがって、

$7 + 5 > x$

$7 + x > 5$

$5 + x > 7$

これらの不等式から、

$x < 12$

$x > -2$

$x > 2$

$x$は辺の長さなので正であるから、$x > 0$である。よって、$2 < x < 12$。

次に、$\angle A < \angle C$という条件から、$x$の範囲を絞る。

三角形において、大きい角の対辺は長く、小さい角の対辺は短い。

$\angle A < \angle C$ より、$BC < AB$。

したがって、$x < 7$。

三角形の成立条件と$\angle A < \angle C$の条件を組み合わせると、

$2 < x < 12$ かつ $x < 7$ なので、

$2 < x < 7$となる。

3. 最終的な答え

$2 < x < 7$