## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

3つの問題があります。

1. ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (1, 5, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めます。

2. 空間内の3点 $A(1, 3, 2)$, $B(0, 5, 3)$, $C(2, 4, 5)$ が与えられたとき、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を求め、さらに三角形ABCの面積を求めます。

3. 空間内の3点 $A(1, 4, -3)$, $B(1, 3, -2)$, $C(k, 3, 2)$ について、三角形ABCの面積が $\sqrt{6}$ となるような実数 $k$ の値を求めます。

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2. 解き方の手順

### 問題3の解き方

1. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトルを求めるには、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & -4 \end{vmatrix} = (4 - 15)\vec{i} - (-8 - 3)\vec{j} + (10 + 1)\vec{k} = (-11, 11, 11)$$

2. 得られたベクトルの大きさを計算します。

$$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(-11)^2 + (11)^2 + (11)^2} = \sqrt{3 \cdot 11^2} = 11\sqrt{3}$$

3. 単位ベクトルを求めるには、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割ります。

$$\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{(-11, 11, 11)}{11\sqrt{3}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

もう一つの単位ベクトルは、このベクトルの符号を反転させたものです。

$$\vec{n}' = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

### 問題4の解き方

1. ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算します。

$$\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 5-3, 3-2) = (-1, 2, 1)$$

$$\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 4-3, 5-2) = (1, 1, 3)$$

2. 外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算します。

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (6 - 1)\vec{i} - (-3 - 1)\vec{j} + (-1 - 2)\vec{k} = (5, 4, -3)$$

3. 三角形ABCの面積を計算します。面積は外積の大きさの半分です。

$$S = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|| = \frac{1}{2} \sqrt{(5)^2 + (4)^2 + (-3)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{25 + 16 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{50} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

### 問題5の解き方

1. ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算します。

$$\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1, 3-4, -2-(-3)) = (0, -1, 1)$$

$$\overrightarrow{AC} = C - A = (k-1, 3-4, 2-(-3)) = (k-1, -1, 5)$$

2. 外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算します。

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ k-1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = (-5 - (-1))\vec{i} - (0 - (k-1))\vec{j} + (0 - (-1)(k-1))\vec{k} = (-4, k-1, k-1)$$

3. 三角形ABCの面積の公式を使用します。$S = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||$. 面積が $\sqrt{6}$ に等しいことから,

$$\sqrt{6} = \frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (k-1)^2 + (k-1)^2}$$

$$2\sqrt{6} = \sqrt{16 + 2(k-1)^2}$$

$$(2\sqrt{6})^2 = 16 + 2(k-1)^2$$

$$24 = 16 + 2(k-1)^2$$

$$8 = 2(k-1)^2$$

$$4 = (k-1)^2$$

$$k-1 = \pm 2$$

$$k = 1 \pm 2$$

$$k = 3, -1$$

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3. 最終的な答え

3. $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

4. $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (5, 4, -3)$, 三角形ABCの面積は $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

5. $k = 3, -1$