(1) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $BC=2$, $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$ を満たすとき、線分 $CA$ の長さ、$\sin \angle ABC$ の値、$\triangle ABC$ の外接円の半径を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ とする。$\angle ACB$ が鋭角であるための必要十分条件を選択肢の中から選ぶ。 (3) 3辺の長さが与えられた7つの三角形の中から、鋭角三角形と鈍角三角形の個数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $BC=2$, $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$ を満たすとき、線分 $CA$ の長さ、$\sin \angle ABC$ の値、$\triangle ABC$ の外接円の半径を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ とする。$\angle ACB$ が鋭角であるための必要十分条件を選択肢の中から選ぶ。

(3) 3辺の長さが与えられた7つの三角形の中から、鋭角三角形と鈍角三角形の個数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $CA$ の長さを求める。余弦定理より、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$CA^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}$

$CA^2 = 16 + 4 - 4 = 16$

$CA = 4$

次に、$\sin \angle ABC$ を求める。$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より、

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ を求める。正弦定理より、

$\frac{CA}{\sin \angle ABC} = 2R$

$2R = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) $\angle ACB$ が鋭角であるための必要十分条件は、$AB^2 < BC^2 + CA^2$ である。

したがって、$c^2 < a^2 + b^2$。これは選択肢の⑧である。

(3) 各三角形の3辺の長さを$a,b,c$ ($a \le b \le c$)とおく。$a^2+b^2>c^2$なら鋭角三角形、$a^2+b^2<c^2$なら鈍角三角形、$a^2+b^2=c^2$なら直角三角形である。

(i) 2, 3, 4: $2^2+3^2=4+9=13 < 4^2=16$ (鈍角三角形)

(ii) 3, 4, 5: $3^2+4^2=9+16=25 = 5^2$ (直角三角形)

(iii) 4, 5, 6: $4^2+5^2=16+25=41 > 6^2=36$ (鋭角三角形)

(iv) 7, 11, 13: $7^2+11^2=49+121=170 < 13^2=169$　（存在しない）

(v) 1, 2, $\sqrt{3}$: $1^2+2^2 = 1+4 = 5 > (\sqrt{3})^2 = 3$ (鋭角三角形)

(vi) 4, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$: $\sqrt{5}, \sqrt{7}$ より4が最長辺である。$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7})^2 = 5 + 7 = 12 < 4^2 = 16$ (鈍角三角形)

(vii) $2\sqrt{7}, 3\sqrt{5}, 5\sqrt{3}$: $(2\sqrt{7})^2=28$, $(3\sqrt{5})^2 = 45$, $(5\sqrt{3})^2=75$.

$28+45 = 73 < 75$ (鈍角三角形)

(iv)は$7+11<13$より三角形が存在しない。

鋭角三角形は(iii)(v) の2個である。

鈍角三角形は(i)(vi)(vii) の3個である。

3. 最終的な答え

CA = 4

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{15}}{4}$

外接円の半径 = $\frac{8\sqrt{15}}{15}$

(1) ⑧

鋭角三角形の個数 = 2

鈍角三角形の個数 = 3