与えられた数 $1, \log_9{\sqrt{3}}, \log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}$ を小さい順に並べ替える問題です。

1. 問題の内容

与えられた数 $1, \log_9{\sqrt{3}}, \log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}$ を小さい順に並べ替える問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を簡単にします。

* $1$ はそのままです。

* $\log_9{\sqrt{3}}$ を計算します。$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ であり、$9 = 3^2$ なので、

$\log_9{\sqrt{3}} = \log_{3^2}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} \log_3{3} = \frac{1}{4}$

* $\log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}$ を計算します。$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ であり、$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ なので、

$\log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-1}} = \frac{-1}{\frac{1}{2}} \log_3{3} = -2$

したがって、与えられた数は、$1, \frac{1}{4}, -2$ となります。

これらの数を小さい順に並べると、$-2, \frac{1}{4}, 1$ となります。

元の表記に戻すと、$\log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}, \log_9{\sqrt{3}}, 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}, \log_9{\sqrt{3}}, 1$