一次関数の問題で、与えられた2点を通る一次関数の式を求めたり、別の一次関数との関係から条件を満たす値を求める問題です。 (1) 点$(0,c)$と$(2,6)$を通る一次関数について、$c=2$ のときの切片と傾きを求める。 (2) $c=8$ のときの切片と傾きを求める。 (3) 一次関数 $y = -4x + 3$ とグラフが交わらないときの $c$ の値を求める。 (4) つるとかめに関する文章題から、それぞれの数を求める。

1. 問題の内容

一次関数の問題で、与えられた2点を通る一次関数の式を求めたり、別の一次関数との関係から条件を満たす値を求める問題です。

(1) 点$(0,c)$と$(2,6)$を通る一次関数について、$c=2$ のときの切片と傾きを求める。

(2) $c=8$ のときの切片と傾きを求める。

(3) 一次関数 $y = -4x + 3$ とグラフが交わらないときの $c$ の値を求める。

(4) つるとかめに関する文章題から、それぞれの数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $c=2$ のとき、点$(0,2)$と$(2,6)$を通る一次関数を求める。

切片は $y$軸との交点なので、$2$。 (キ)に入るのは$2$。

傾きは $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で求められるので、$\frac{6-2}{2-0} = \frac{4}{2} = 2$。 (ク)に入るのは$2$。

したがって、求める一次関数は $y = 2x + 2$。

(2) $c=8$ のとき、点$(0,8)$と$(2,6)$を通る一次関数を求める。

切片は $y$軸との交点なので、$8$。 (ケ)に入るのは$8$。

傾きは $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で求められるので、$\frac{6-8}{2-0} = \frac{-2}{2} = -1$。 (コ)に入るのは$1$。

したがって、求める一次関数は $y = -x + 8$。

(3) 一次関数 $y = -x + c$ が、$y = -4x + 3$ と交わらないとき、すなわち平行なときを考える。

傾きが同じであればよいので、$-1 = -4$ となる必要があるが、これはありえない。

問題文は二つの一次関数のグラフを同一平面上に書いて 1 点も交わらない場合とあるので、グラフが平行であることを意味する。

従って、$y = -x + c$ と $y = -4x + 3$ が平行になるような $c$ は存在しない。問題に誤りがあると考えられるが、交わらない条件から考えると、$y = -x+c$の傾きが$-4$ではないとき、つまり、$-x$の部分を$-4x$と修正して考えると、このとき $y = -4x + c$ と $y = -4x + 3$ が平行になるのは、$c \neq 3$ のときである。

しかし問題文より、$y = -x + c$と、$y = -4x + 3$で考えるので、交わらないということは、二つの直線の交点が一つもない、つまり平行であることを意味する。

平行である条件は傾きが等しいことであるから、傾きが$-1$である$y = -x + c$と傾きが$-4$である $y = -4x + 3$は平行になることはない。

したがって、1点も交わらないような $c$ は存在しない。

問題文に誤りがある可能性を考慮して、$c=3$の場合を考えると、この時、$y=-4x+3$となり、これは同じ直線になるので、無数の交点を持つ。よって、1点も交わらないのは、$c$が3以外であれば良い。

しかし、問題文の意図を汲み取り、交わらない場合を考えると、傾きが等しい必要がある。

そのため、$c$の値は存在しないと考える。

(4) つるの数を $x$ 匹、かめの数を $y$ 匹とする。

つるとかめの合計が12匹なので、$x + y = 12$。

足の合計が32本なので、$2x + 4y = 32$。

この連立方程式を解く。$x = 12 - y$ を $2x + 4y = 32$ に代入すると、$2(12 - y) + 4y = 32$。

$24 - 2y + 4y = 32$ より、$2y = 8$、$y = 4$。

$x = 12 - 4 = 8$。

したがって、つるは8匹、かめは4匹。

3. 最終的な答え

(1) 切片は $2$、傾きは $2$。

(2) 切片は $8$、傾きは $-1$。

(3) $c$は存在しない。

(4) つるは $8$ 匹、かめは $4$ 匹。