2次関数 $y = 3x^2 + 18x + 23$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 + 18x + 23$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成し、頂点のy座標を求めることで最小値を求める。

まず、$x^2$ の項の係数である3で、$x$の項までを括る。

$y = 3(x^2 + 6x) + 23$

次に、括弧の中を平方完成する。$(x+3)^2 = x^2+6x+9$ であるから、$x^2+6x = (x+3)^2 - 9$ となる。したがって、

$y = 3((x+3)^2 - 9) + 23$

括弧を外す。

$y = 3(x+3)^2 - 27 + 23$

定数項を計算する。

$y = 3(x+3)^2 - 4$

この式より、頂点の座標は $(-3, -4)$ である。$x^2$ の係数が正であるため、この2次関数は下に凸であり、頂点で最小値をとる。

3. 最終的な答え

最小値：-4