(1) 命題「$x=8$ ならば $x^2 - 7x - 8 = 0$」の真偽を判定し、命題「$x^2 - 7x - 8 = 0$ ならば $x=8$」の真偽を判定し、さらに、$x^2 - 7x - 8 = 0$ が $x=8$ であるための何条件であるかを答える。 (2) 集合 $P = \{x \mid -5 < x < 5\}$、 $Q = \{x \mid x < 5\}$ について、$P$ と $Q$ の包含関係を調べ、$-5 < x < 5$ が $x < 5$ であるための何条件であるかを答える。

1. 問題の内容

(1) 命題「$x=8$ ならば $x^2 - 7x - 8 = 0$」の真偽を判定し、命題「$x^2 - 7x - 8 = 0$ ならば $x=8$」の真偽を判定し、さらに、$x^2 - 7x - 8 = 0$ が $x=8$ であるための何条件であるかを答える。

(2) 集合 $P = \{x \mid -5 < x < 5\}$、 $Q = \{x \mid x < 5\}$ について、$P$ と $Q$ の包含関係を調べ、$-5 < x < 5$ が $x < 5$ であるための何条件であるかを答える。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=8$ ならば $x^2 - 7x - 8 = 0$ の真偽を判定する。$x=8$ を $x^2 - 7x - 8$ に代入すると、$8^2 - 7(8) - 8 = 64 - 56 - 8 = 0$ となり、命題は真である。

次に、$x^2 - 7x - 8 = 0$ ならば $x=8$ の真偽を判定する。$x^2 - 7x - 8 = (x-8)(x+1) = 0$ より、$x = 8$ または $x = -1$ である。したがって、$x = -1$ の場合、$x=8$ は成り立たないため、命題は偽である。

したがって、$x^2 - 7x - 8 = 0$ は $x = 8$ であるための必要条件である。（$x=8$ ならば $x^2 - 7x - 8 = 0$ は成り立つが、$x^2 - 7x - 8 = 0$ であっても $x=8$ とは限らない。）

(2)

集合 $P = \{x \mid -5 < x < 5\}$、 $Q = \{x \mid x < 5\}$ について、$P \subset Q$ である。

なぜなら、$P$ の要素である $x$ は $-5 < x < 5$ を満たすが、このとき必ず $x < 5$ も満たされるので、$x$ は $Q$ の要素でもある。一方、$Q$ の要素である $x$ は $x < 5$ を満たすが、このとき必ず $-5 < x < 5$ を満たすとは限らない。例えば、$x = -6$ は $x < 5$ を満たすが、$-5 < x < 5$ は満たさない。

したがって、$-5 < x < 5$ は $x < 5$ であるための十分条件である。（$-5 < x < 5$ ならば $x < 5$ が必ず成り立つ。）

3. 最終的な答え

(1)

「$x=8$ ならば $x^2 - 7x - 8 = 0$」の真偽は真である。

「$x^2 - 7x - 8 = 0$ ならば $x=8$」の真偽は偽である。

$x^2 - 7x - 8 = 0$ は $x=8$ であるための必要条件である。

(2)

$P \subset Q$ である。

$-5 < x < 5$ は $x < 5$ であるための十分条件である。