不等式 $|x+1| > 3x$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $|x+1| > 3x$ を解け。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、次の2つの場合に分けます。

場合1: $x+1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -1$ のとき

このとき、$|x+1| = x+1$ なので、不等式は $x+1 > 3x$ となります。

$x+1 > 3x$ を整理すると、$1 > 2x$ となり、$x < \frac{1}{2}$ となります。

$x \geq -1$ と $x < \frac{1}{2}$ の共通範囲は $-1 \leq x < \frac{1}{2}$ となります。

場合2: $x+1 < 0$ のとき、つまり $x < -1$ のとき

このとき、$|x+1| = -(x+1)$ なので、不等式は $-(x+1) > 3x$ となります。

$-(x+1) > 3x$ を整理すると、$-x-1 > 3x$ となり、$-1 > 4x$ となり、$x < -\frac{1}{4}$ となります。

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{4}$ の共通範囲は $x < -1$ となります。

したがって、場合1と場合2を合わせると、解は $x < \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x < \frac{1}{2}$