2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、 $2\alpha$、$2\beta$を解とする$x^2$の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、 $2\alpha$、$2\beta$を解とする$x^2$の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ を解きやすいように変形します。両辺に -1 をかけると、

$x^2 - 4x - 5 = 0$

この2次方程式を因数分解すると、

$(x - 5)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 5, -1$ となります。つまり、$\alpha = 5$, $\beta = -1$ とします。

次に、$2\alpha$と$2\beta$を計算します。

$2\alpha = 2 \times 5 = 10$

$2\beta = 2 \times (-1) = -2$

したがって、求める2次方程式の解は$10$と$-2$です。

解が$10$と$-2$である2次方程式は、

$(x - 10)(x + 2) = 0$

と表せます。これを展開すると、

$x^2 + 2x - 10x - 20 = 0$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$