数列 $\{a_k\}$ があり、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ であるとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ があり、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ であるとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_k$ を求めることを考えます。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ であるので、

$n=1$ のとき、 $a_1 = 1^2 = 1$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

$n=1$ のときも $a_1 = 2(1) - 1 = 1$ となり、同じ式で表せるので、$a_n = 2n - 1$ が成り立ちます。

次に、$a_k^2$ を計算します。

$a_k^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3}$

$= \frac{n(2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

$= \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$