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地面から物体を20m/sの速度で投げ上げたときの、t秒後の物体の高さ $h(m)$ が $h = 20t - 5t^2$ で表される。物体が最も高くなる時の高さ $h$ を求める。

代数学二次関数最大値平方完成
2025/6/26

1. 問題の内容

地面から物体を20m/sの速度で投げ上げたときの、t秒後の物体の高さ h(m)h(m) が h=20t−5t2h = 20t - 5t^2 で表される。物体が最も高くなる時の高さ hh を求める。

2. 解き方の手順

物体が最も高くなる時を求めるには、与えられた式 h=20t−5t2h = 20t - 5t^2 を平方完成して、頂点を求めることで最大値を求めることができます。
まず、h=−5t2+20th = -5t^2 + 20t　と並び替えます。
次に、t2t^2 の係数である -5 でくくります。
h=−5(t2−4t)h = -5(t^2 - 4t)
次に、括弧の中を平方完成します。 t2−4tt^2 - 4t を平方完成するには、 tt の係数である -4 を半分にした数の2乗、つまり (−4/2)2=(−2)2=4(-4/2)^2 = (-2)^2 = 4 を足して引きます。
h=−5(t2−4t+4−4)h = -5(t^2 - 4t + 4 - 4)
h=−5((t−2)2−4)h = -5((t - 2)^2 - 4)
次に、括弧を外します。
h=−5(t−2)2+20h = -5(t - 2)^2 + 20
この式は、頂点が (2,20)(2, 20) の上に凸の放物線を表しています。したがって、t=2t = 2 の時に、高さ hh は最大値 20 をとります。

3. 最終的な答え

20m

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