与えられた6つの2次関数の頂点の座標を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 6x - 2$ (2) $y = x^2 - 4x - 5$ (3) $y = -2x^2 + 4x - 5$ (4) $y = x^2 + 2ax + a$ (5) $y = ax^2 - 2ax + a^2 - 2a - 4$ (ただし $a \neq 0$) (6) $y = x^2 - (4k + 2)x + 5k^2 - 7k - 2$

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数の頂点の座標を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 6x - 2$

(2) $y = x^2 - 4x - 5$

(3) $y = -2x^2 + 4x - 5$

(4) $y = x^2 + 2ax + a$

(5) $y = ax^2 - 2ax + a^2 - 2a - 4$ (ただし $a \neq 0$)

(6) $y = x^2 - (4k + 2)x + 5k^2 - 7k - 2$

2. 解き方の手順

2次関数の頂点の座標は、平方完成を行うことで求めることができます。

$y = ax^2 + bx + c$ の形の2次関数は、$y = a(x - p)^2 + q$ と変形できます。

このとき、頂点の座標は $(p, q)$ となります。

(1) $y = x^2 + 6x - 2$

$y = (x^2 + 6x) - 2$

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 - 2$

$y = (x + 3)^2 - 11$

頂点の座標は $(-3, -11)$

(2) $y = x^2 - 4x - 5$

$y = (x^2 - 4x) - 5$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 5$

$y = (x - 2)^2 - 9$

頂点の座標は $(2, -9)$

(3) $y = -2x^2 + 4x - 5$

$y = -2(x^2 - 2x) - 5$

$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 2 - 5$

$y = -2(x - 1)^2 - 3$

頂点の座標は $(1, -3)$

(4) $y = x^2 + 2ax + a$

$y = (x^2 + 2ax) + a$

$y = (x^2 + 2ax + a^2) - a^2 + a$

$y = (x + a)^2 - a^2 + a$

頂点の座標は $(-a, -a^2 + a)$

(5) $y = ax^2 - 2ax + a^2 - 2a - 4$ ($a \neq 0$)

$y = a(x^2 - 2x) + a^2 - 2a - 4$

$y = a(x^2 - 2x + 1) - a + a^2 - 2a - 4$

$y = a(x - 1)^2 + a^2 - 3a - 4$

頂点の座標は $(1, a^2 - 3a - 4)$

(6) $y = x^2 - (4k + 2)x + 5k^2 - 7k - 2$

$y = \left(x - \frac{4k+2}{2}\right)^2 - \left(\frac{4k+2}{2}\right)^2 + 5k^2 - 7k - 2$

$y = (x - (2k+1))^2 - (2k+1)^2 + 5k^2 - 7k - 2$

$y = (x - (2k+1))^2 - (4k^2 + 4k + 1) + 5k^2 - 7k - 2$

$y = (x - (2k+1))^2 + k^2 - 11k - 3$

頂点の座標は $(2k + 1, k^2 - 11k - 3)$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-3, -11)$

(2) 頂点の座標: $(2, -9)$

(3) 頂点の座標: $(1, -3)$

(4) 頂点の座標: $(-a, -a^2 + a)$

(5) 頂点の座標: $(1, a^2 - 3a - 4)$

(6) 頂点の座標: $(2k + 1, k^2 - 11k - 3)$