与えられた2次式 $4x^2 - 4x - 1$ の根を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $4x^2 - 4x - 1$ の根を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式を用いて求めることができます。解の公式は次の通りです。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a=4$, $b=-4$, $c=-1$ です。これらの値を解の公式に代入します。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8}$

$\sqrt{32}$ は $4\sqrt{2}$ と簡略化できます。

$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8}$

分子と分母を4で割ります。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$, $x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$