与えられた等式 $\frac{1}{x^3+4x^2+5x+2} = \frac{p}{x+2} + \frac{q}{x+1} + \frac{r}{(x+1)^2}$ が $x$ についての恒等式として成り立つとき、定数 $p$, $q$, $r$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式

$\frac{1}{x^3+4x^2+5x+2} = \frac{p}{x+2} + \frac{q}{x+1} + \frac{r}{(x+1)^2}$

が $x$ についての恒等式として成り立つとき、定数 $p$, $q$, $r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母を因数分解する。

$x^3+4x^2+5x+2 = (x+2)(x+1)^2$

したがって、与えられた等式は

$\frac{1}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{p}{x+2} + \frac{q}{x+1} + \frac{r}{(x+1)^2}$

両辺に $(x+2)(x+1)^2$ を掛けると、

$1 = p(x+1)^2 + q(x+2)(x+1) + r(x+2)$

$1 = p(x^2+2x+1) + q(x^2+3x+2) + r(x+2)$

$1 = px^2+2px+p + qx^2+3qx+2q + rx+2r$

$1 = (p+q)x^2 + (2p+3q+r)x + (p+2q+2r)$

この式が $x$ についての恒等式であるから、各次数の係数が等しい。

$x^2$ の係数: $p+q=0$

$x$ の係数: $2p+3q+r=0$

定数項: $p+2q+2r=1$

これらの連立方程式を解く。

$p+q=0$ より $p=-q$

$2p+3q+r=0$ に代入すると $2(-q)+3q+r=0$ より $q+r=0$ よって $q=-r$

$p+2q+2r=1$ に代入すると $-q+2q+2r=1$ より $q+2r=1$

$q=-r$ を代入すると $-r+2r=1$ より $r=1$

$q=-r$ より $q=-1$

$p=-q$ より $p=1$

3. 最終的な答え

$p=1$, $q=-1$, $r=1$