与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 3, 6, 15, 42, ... の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 3, 6, 15, 42, ... の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

階差数列を求める。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ を計算する。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 6 - 3 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 15 - 6 = 9$

$b_4 = a_5 - a_4 = 42 - 15 = 27$

数列 $\{b_n\}$: 1, 3, 9, 27, ... は公比が3の等比数列である。

したがって、$b_n = 3^{n-1}$ となる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

$a_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k$

等比数列の和の公式を用いる。

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^k = \frac{3^{n-1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

したがって、

$a_n = 2 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{4 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$