2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$4\alpha$, $4\beta$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$4\alpha$, $4\beta$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の解と係数の関係を求める。解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$$

$$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$$

次に、$4\alpha$, $4\beta$ を解とする2次方程式を求める。そのために、$4\alpha + 4\beta$ と $(4\alpha)(4\beta)$ を計算する。

$$4\alpha + 4\beta = 4(\alpha + \beta) = 4 \left( -\frac{1}{2} \right) = -2$$

$$(4\alpha)(4\beta) = 16\alpha\beta = 16(2) = 32$$

求める2次方程式は、$x^2$ の係数が1なので、次のようになる。

$$x^2 - (4\alpha + 4\beta)x + (4\alpha)(4\beta) = 0$$

得られた値を代入すると、

$$x^2 - (-2)x + 32 = 0$$

$$x^2 + 2x + 32 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x + 32 = 0$