与えられた不等式は、絶対値を含む不等式です。 $|x-3| \leq -2x$ この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式は、絶対値を含む不等式です。

$|x-3| \leq -2x$

この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(1) $x-3 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq 3$ のとき

$|x-3| = x-3$ となるので、不等式は

$x-3 \leq -2x$

$3x \leq 3$

$x \leq 1$

しかし、$x \geq 3$ という条件があるので、$x \leq 1$ と $x \geq 3$ を満たす $x$ は存在しません。

したがって、この場合は解なしです。

(2) $x-3 < 0$ のとき、つまり $x < 3$ のとき

$|x-3| = -(x-3) = -x+3$ となるので、不等式は

$-x+3 \leq -2x$

$x \leq -3$

条件 $x < 3$ と、$x \leq -3$ を満たす $x$ は、$x \leq -3$ です。

さらに、$|x-3| \leq -2x$ という不等式において、$|x-3| \geq 0$ であるので、$-2x \geq 0$ でなければなりません。

したがって、$x \leq 0$ である必要があります。

$x \leq -3$ は、$x \leq 0$ を満たしています。

以上より、$x \leq -3$

3. 最終的な答え

$x \leq -3$