与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \cdots + n^2(n+1)$ で表されます。すなわち、$\sum_{k=1}^n k^2(k+1)$を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \cdots + n^2(n+1)$ で表されます。すなわち、$\sum_{k=1}^n k^2(k+1)$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を整理します。

$k^2(k+1) = k^3 + k^2$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$

となります。

ここで、$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ および $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

したがって、求める和は

$\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12} = \frac{n(n+1)[3n(n+1) + 2(2n+1)]}{12}$

$= \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 4n + 2)}{12} = \frac{n(n+1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$

$= \frac{n(n+1)(3n+1)(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$