座標平面上に2点A(4, 4), B(-2, 1)がある。 (1) 線分ABを1:2に内分する点Cの座標を求める。 (2) 線分ABを1:2に外分する点Dの座標を求める。 (3) 線分CDの長さを求める。 (4) E(-5, 1)としたとき、三角形ABEの重心Gの座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(4, 4), B(-2, 1)がある。

(1) 線分ABを1:2に内分する点Cの座標を求める。

(2) 線分ABを1:2に外分する点Dの座標を求める。

(3) 線分CDの長さを求める。

(4) E(-5, 1)としたとき、三角形ABEの重心Gの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを1:2に内分する点Cの座標は、内分点の公式を用いて計算する。

$C = \left( \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{1+2}, \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 1}{1+2} \right) = \left( \frac{8-2}{3}, \frac{8+1}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{9}{3} \right) = (2, 3)$

(2) 線分ABを1:2に外分する点Dの座標は、外分点の公式を用いて計算する。

$D = \left( \frac{-2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{1-2}, \frac{-2 \cdot 4 + 1 \cdot 1}{1-2} \right) = \left( \frac{-8-2}{-1}, \frac{-8+1}{-1} \right) = \left( \frac{-10}{-1}, \frac{-7}{-1} \right) = (10, 7)$

(3) 線分CDの長さを求める。C(2, 3), D(10, 7)なので、

$CD = \sqrt{(10-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

(4) 三角形ABEの重心Gの座標を求める。A(4, 4), B(-2, 1), E(-5, 1)なので、

$G = \left( \frac{4 + (-2) + (-5)}{3}, \frac{4 + 1 + 1}{3} \right) = \left( \frac{-3}{3}, \frac{6}{3} \right) = (-1, 2)$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウエ: 10

オ: 7

カ: 4

キ: 5

クケ: -1

コ: 2