与えられた4つの2次関数について、グラフの概形を描き、それぞれの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。 (1) $y=(x-2)^2$ (2) $y=2(x+1)^2$ (3) $y=-(x-3)^2$ (4) $y=-2(x+2)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、グラフの概形を描き、それぞれの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

(1) $y=(x-2)^2$

(2) $y=2(x+1)^2$

(3) $y=-(x-3)^2$

(4) $y=-2(x+2)^2$

2. 解き方の手順

2次関数の一般形は $y=a(x-p)^2+q$ であり、頂点は $(p, q)$、軸は直線 $x=p$ で表されます。与えられた関数をこの形に変形することで、頂点と軸を特定します。

(1) $y=(x-2)^2$

この関数は $y=(x-2)^2+0$ と見なせます。したがって、頂点は $(2, 0)$、軸は $x=2$ です。グラフは、下に凸の放物線で、頂点が$(2,0)$です。

(2) $y=2(x+1)^2$

この関数は $y=2(x-(-1))^2+0$ と見なせます。したがって、頂点は $(-1, 0)$、軸は $x=-1$ です。グラフは、下に凸の放物線で、$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に-1倍に平行移動し、$y$軸方向に2倍に拡大したものとなります。

(3) $y=-(x-3)^2$

この関数は $y=-(x-3)^2+0$ と見なせます。したがって、頂点は $(3, 0)$、軸は $x=3$ です。グラフは、上に凸の放物線で、$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に3だけ平行移動し、$x$軸について対象に折り返したものとなります。

(4) $y=-2(x+2)^2$

この関数は $y=-2(x-(-2))^2+0$ と見なせます。したがって、頂点は $(-2, 0)$、軸は $x=-2$ です。グラフは、上に凸の放物線で、$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に-2だけ平行移動し、$x$軸について対象に折り返し、$y$軸方向に2倍に拡大したものとなります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(2, 0)$、軸: $x=2$

(2) 頂点: $(-1, 0)$、軸: $x=-1$

(3) 頂点: $(3, 0)$、軸: $x=3$

(4) 頂点: $(-2, 0)$、軸: $x=-2$