楕円 $x^2 + 2y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ が異なる2点で交わるとき、2つの交点の中点の軌跡を求める。

1. 問題の内容

楕円 $x^2 + 2y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ が異なる2点で交わるとき、2つの交点の中点の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 楕円と直線の式を連立させる。$y = x + k$ を $x^2 + 2y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 + 2(x + k)^2 = 1$

$x^2 + 2(x^2 + 2xk + k^2) = 1$

$x^2 + 2x^2 + 4xk + 2k^2 = 1$

$3x^2 + 4kx + 2k^2 - 1 = 0$

(2) 上記の $x$ に関する2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を求める。判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (2k)^2 - 3(2k^2 - 1) > 0$

$4k^2 - 6k^2 + 3 > 0$

$-2k^2 + 3 > 0$

$2k^2 < 3$

$k^2 < \frac{3}{2}$

$-\sqrt{\frac{3}{2}} < k < \sqrt{\frac{3}{2}}$

(3) 2つの交点の $x$ 座標を $x_1, x_2$ とすると、中点の $x$ 座標 $X$ は、解と係数の関係より

$X = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4k/3}{2} = -\frac{2}{3}k$

よって、 $k = -\frac{3}{2}X$

(4) 中点の $y$ 座標 $Y$ は、

$Y = X + k = X - \frac{3}{2}X = -\frac{1}{2}X$

(5) 中点の座標 $(X, Y)$ が満たすべき条件を求める。$x^2 + 2y^2 = 1$ に代入するのではなく、$X$ と $Y$ の関係式を導く。$k$ の範囲を $X$ で表すと、

$-\sqrt{\frac{3}{2}} < -\frac{3}{2}X < \sqrt{\frac{3}{2}}$

$-\sqrt{\frac{3}{2}} < -\frac{3}{2}X$ より、 $\sqrt{\frac{3}{2}} > \frac{3}{2}X$ なので $X < \frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$-\frac{3}{2}X < \sqrt{\frac{3}{2}}$ より、 $X > -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

よって、 $-\frac{\sqrt{6}}{3} < X < \frac{\sqrt{6}}{3}$

$Y = -\frac{1}{2}X$ より、 $X = -2Y$ なので、

$x^2 + 2y^2 = 1$ に $x = -2y$ を代入して

$(-2Y)^2 + 2Y^2 = 1$

$4Y^2 + 2Y^2 = 1$

$6Y^2 = 1$

$Y^2 = \frac{1}{6}$

$Y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

中点の軌跡は、$Y = -\frac{1}{2}X$ なので、 $x = -2y$

$x^2 + 2y^2 = 1$ を満たす。中点の軌跡は、$x = -2y$ 上にある。

$X$ の範囲から $Y$ の範囲を求める。$Y = -\frac{1}{2}X$ より、$\frac{\sqrt{6}}{6} > Y > -\frac{\sqrt{6}}{6}$

よって、求める軌跡は、$x = -2y$ かつ $-\frac{\sqrt{6}}{6} < y < \frac{\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

$x = -2y$, $-\frac{\sqrt{6}}{6} < y < \frac{\sqrt{6}}{6}$