与えられた3つの円 $C_1: x^2+y^2-4ax-2ay=5-10a$, $C_2: x^2+y^2=10$, $C_3: x^2+y^2-8x-6y=-10$ について、以下の問いに答える。 (1) 円 $C_1$ が原点を通るときの中心と半径を求める。 (2) 定数 $a$ の値によらず円 $C_1$ が通る定点Aの座標を求める。 (3) 円 $C_2$ と円 $C_3$ の2つの交点と原点を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの円 $C_1: x^2+y^2-4ax-2ay=5-10a$, $C_2: x^2+y^2=10$, $C_3: x^2+y^2-8x-6y=-10$ について、以下の問いに答える。

(1) 円 $C_1$ が原点を通るときの中心と半径を求める。

(2) 定数 $a$ の値によらず円 $C_1$ が通る定点Aの座標を求める。

(3) 円 $C_2$ と円 $C_3$ の2つの交点と原点を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ が原点 $(0,0)$ を通るとき、方程式に $x=0, y=0$ を代入すると、

$0^2+0^2-4a(0)-2a(0) = 5-10a$

$0 = 5-10a$

$10a = 5$

$a = \frac{1}{2}$

このとき、$C_1$ の方程式は

$x^2+y^2 - 4(\frac{1}{2})x - 2(\frac{1}{2})y = 5 - 10(\frac{1}{2})$

$x^2+y^2 - 2x - y = 0$

$(x-1)^2 - 1 + (y-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = 0$

$(x-1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$

したがって、中心は $(1, \frac{1}{2})$、半径は $\sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。

(2) 円 $C_1$ の方程式を $a$ について整理する。

$x^2+y^2-4ax-2ay=5-10a$

$x^2+y^2-5 = a(4x+2y-10)$

これが任意の $a$ に対して成り立つためには、

$x^2+y^2-5 = 0$ かつ $4x+2y-10=0$ が必要である。

$2x+y=5$ より $y = 5-2x$

これを $x^2+y^2-5=0$ に代入して、

$x^2 + (5-2x)^2 - 5 = 0$

$x^2 + 25 - 20x + 4x^2 - 5 = 0$

$5x^2 - 20x + 20 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 5 - 2(2) = 1$

よって、定点Aの座標は $(2,1)$

(3) 円 $C_2$ と円 $C_3$ の交点を通る円の方程式は

$x^2+y^2-10 + k(x^2+y^2-8x-6y+10) = 0$

この円が原点を通るので、 $x=0, y=0$ を代入すると、

$-10 + k(10) = 0$

$10k = 10$

$k = 1$

したがって、求める円の方程式は

$x^2+y^2-10 + (x^2+y^2-8x-6y+10) = 0$

$2x^2+2y^2-8x-6y = 0$

$x^2+y^2-4x-3y = 0$

$(x-2)^2 - 4 + (y-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = 0$

$(x-2)^2 + (y-\frac{3}{2})^2 = \frac{16+9}{4} = \frac{25}{4}$

中心は $(2, \frac{3}{2})$、半径は $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(1, \frac{1}{2})$、半径: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

(2) 定点Aの座標: $(2,1)$

(3) 中心: $(2, \frac{3}{2})$、半径: $\frac{5}{2}$