右の図は半円の弧を組み合わせたもので、図1と図2の弧の長さが等しくなることを、$AB = a$、$AP = b$として説明せよ。

1. 問題の内容

右の図は半円の弧を組み合わせたもので、図1と図2の弧の長さが等しくなることを、$AB = a$、$AP = b$として説明せよ。

2. 解き方の手順

まず、図1の弧の長さを計算します。図1は、半径 $\frac{b}{2}$ の半円と半径 $\frac{a-b}{2}$ の半円の組み合わせです。

それぞれの半円の弧の長さは、半径に $\pi$ をかけたものです。

図1の弧の長さ = $\pi \frac{b}{2} + \pi \frac{a-b}{2}$

次に、この式を整理します。

$\pi \frac{b}{2} + \pi \frac{a-b}{2} = \frac{\pi}{2} (b + a - b) = \frac{\pi}{2} a$

次に、図2の弧の長さを計算します。図2は、半径 $\frac{a}{2}$ の半円です。

図2の弧の長さ = $\pi \frac{a}{2} = \frac{\pi}{2} a$

したがって、図1と図2の弧の長さは等しく、$\frac{\pi}{2} a$ となります。

3. 最終的な答え

図1の弧の長さは $\frac{\pi}{2}a$ であり、図2の弧の長さも $\frac{\pi}{2}a$ である。したがって、図1と図2の弧の長さは等しい。