全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$であるとき、以下の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$であるとき、以下の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$を求める。$\overline{A}$は$A$の補集合なので、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$。

$n(\overline{A}) = 100 - 36 = 64$

(2) $n(\overline{B})$を求める。$\overline{B}$は$B$の補集合なので、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$。

$n(\overline{B}) = 100 - 42 = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B})$を求める。$\overline{A \cap B}$は$A \cap B$の補集合なので、$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$。

$n(\overline{A \cap B}) = 100 - 15 = 85$

(4) $n(A \cup B)$を求める。和集合の要素数は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$。

$n(A \cup B) = 36 + 42 - 15 = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B})$を求める。$\overline{A \cup B}$は$A \cup B$の補集合なので、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$。

$n(\overline{A \cup B}) = 100 - 63 = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$を求める。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$であるから、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$

3. 最終的な答え

(1) 64

(2) 58

(3) 85

(4) 63

(5) 37

(6) 37