底面が1辺10cmの正方形で高さが12cmの正四角錐について、以下の問いに答える。 (1) 正四角錐の体積を求める。 (2) 正四角錐の表面積を求める。ただし、$\triangle OMN$ の周の長さは36cmとする。ここで、MとNはそれぞれ辺ADとBCの中点である。 (3) 線分OMの中点をPとし、線分ON上にOQ=10cmとなる点Qをとるとき、5点A, M, N, Q, Pを結んでできる四角錐の体積を求める。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

底面が1辺10cmの正方形で高さが12cmの正四角錐について、以下の問いに答える。

(1) 正四角錐の体積を求める。

(2) 正四角錐の表面積を求める。ただし、$\triangle OMN$ の周の長さは36cmとする。ここで、MとNはそれぞれ辺ADとBCの中点である。

(3) 線分OMの中点をPとし、線分ON上にOQ=10cmとなる点Qをとるとき、5点A, M, N, Q, Pを結んでできる四角錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正四角錐の体積

正四角錐の体積は、(底面積) × (高さ) × (1/3) で求められる。

底面積は、$10 \times 10 = 100$ cm$^2$

高さは12cm

体積 = $100 \times 12 \times \frac{1}{3} = 400$ cm$^3$

(2) 正四角錐の表面積

底面積は、$10 \times 10 = 100$ cm$^2$

側面積は、合同な4つの三角形の面積の和である。

$\triangle OMN$ の周の長さが36cmなので、$OM + ON + MN = 36$ である。

$OM = ON$ であり、$MN = 10$ なので、$2OM + 10 = 36$。よって、$OM = 13$ cm。

底辺10cm、高さ13cmの三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times 10 \times 13 = 65$ cm$^2$

よって、側面積は、$65 \times 4 = 260$ cm$^2$

表面積は、底面積 + 側面積 = $100 + 260 = 360$ cm$^2$

(3) 四角錐の体積

求める四角錐は、底面が台形AMNQで頂点がPの四角錐である。

点PはOMの中点であるから、OM=13cmより、OP=6.5cm

点QはON上にあり、OQ=10cm

四角錐の体積 = 台形AMNQの面積 × Pから台形AMNQに下ろした垂線の長さ × 1/3

台形AMNQの面積 = $\frac{1}{2} \times (AM + QN) \times MN$

AM = 5cm. ON = 13cmなのでQN = ON - OQ = 13 - 10 = 3cm

台形AMNQの面積 = $\frac{1}{2} \times (5 + 3) \times 10 = 40$ cm$^2$

点Pから台形AMNQに下ろした垂線の長さをhとすると、

Oから底面ABCDに下ろした垂線の中点が、AMNQの垂直方向の中心(底面の正方形の中心)

高さ12cmの半分が6cm

四角錐の体積 = $40 \times 6 \times \frac{1}{3} = 80$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) 体積: 400 cm$^3$

(2) 表面積: 360 cm$^2$

(3) 四角錐の体積: 80 cm$^3$