3点A(1, -5), B(-3, 4), C(0, 2)が与えられています。 (1) 線分ABを3:2に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、点Pの座標を求めます。 (2) 三角形ABCの重心Gの座標を求めます。

1. 問題の内容

3点A(1, -5), B(-3, 4), C(0, 2)が与えられています。

(1) 線分ABを3:2に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、点Pの座標を求めます。

(2) 三角形ABCの重心Gの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分ABを3:2に内分するので、内分点の公式より

$\vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OB}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

点A(1, -5)より $\vec{OA} = (1, -5)$

点B(-3, 4)より $\vec{OB} = (-3, 4)$

よって

$\vec{OP} = \frac{2}{5}(1, -5) + \frac{3}{5}(-3, 4) = (\frac{2}{5} - \frac{9}{5}, \frac{-10}{5} + \frac{12}{5}) = (\frac{-7}{5}, \frac{2}{5})$

したがって点Pの座標は$(\frac{-7}{5}, \frac{2}{5})$

(2)

三角形ABCの重心Gの座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められます。

$G = (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3})$

$G = (\frac{1 + (-3) + 0}{3}, \frac{-5 + 4 + 2}{3}) = (\frac{-2}{3}, \frac{1}{3})$

したがって重心Gの座標は$(\frac{-2}{3}, \frac{1}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$, P$(\frac{-7}{5}, \frac{2}{5})$

(2) G$(\frac{-2}{3}, \frac{1}{3})$