3点 A, B, C が一直線上にあることを示すには、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ が平行であることを示せばよいです。つまり、$\vec{AC} = k\vec{AB}$ を満たす実数 $k$ が存在することを示します。 まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。 $\vec{AB} = (8 - 2, -5 - 3) = (6, -8)$ $\vec{AC} = (-1 - 2, 7 - 3) = (-3, 4)$ 次に、$\vec{AC} = k\vec{AB}$ となる $k$ を探します。 $(-3, 4) = k(6, -8)$ $-3 = 6k$ より $k = -\frac{1}{2}$ $4 = -8k$ より $k = -\frac{1}{2}$ したがって、$\vec{AC} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$ となり、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は平行です。

4

0. 問題の内容

3点 A(2, 3), B(8, -5), C(-1, 7) が一直線上にあることを証明します。

4

1. 問題の内容

2点 A(3, -1), B(4, -3) を通る直線の媒介変数表示を求めます。

4

2. 問題の内容

直線 $y = 7x + 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) 法線ベクトルを1つ求めます。

(2) 点 (-1, 4) との距離を求めます。

4

3. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (1, 2)$ のとき、ベクトル $\vec{c} = (3, -2)$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表します。

4

4. 問題の内容

$\vec{a}$, $\vec{b}$ が線形独立であるとき、等式 $3\vec{a} + x(2\vec{a} - 3\vec{b}) = y(\vec{a} + 2\vec{b}) + \vec{b}$ が成り立つように、実数 $x$, $y$ の値を定めます。

## 解答

**40.**

1. 解き方の手順

3点 A, B, C が一直線上にあることを示すには、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ が平行であることを示せばよいです。つまり、$\vec{AC} = k\vec{AB}$ を満たす実数 $k$ が存在することを示します。

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。

$\vec{AB} = (8 - 2, -5 - 3) = (6, -8)$

$\vec{AC} = (-1 - 2, 7 - 3) = (-3, 4)$

次に、$\vec{AC} = k\vec{AB}$ となる $k$ を探します。

$(-3, 4) = k(6, -8)$

$-3 = 6k$ より $k = -\frac{1}{2}$

$4 = -8k$ より $k = -\frac{1}{2}$

したがって、$\vec{AC} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$ となり、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は平行です。

2. 最終的な答え

ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ が平行なので、3点 A, B, C は一直線上にあります。

**41.**

1. 解き方の手順

2点 A(3, -1) と B(4, -3) を通る直線の媒介変数表示を求めます。

直線上の任意の点 P(x, y) は、ベクトル $\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB}$ で表されます。ここで、$t$ は媒介変数です。

まず、$\vec{OA}$ と $\vec{AB}$ を求めます。

$\vec{OA} = (3, -1)$

$\vec{AB} = (4 - 3, -3 - (-1)) = (1, -2)$

したがって、$\vec{OP} = (3, -1) + t(1, -2) = (3 + t, -1 - 2t)$ となります。

つまり、

$x = 3 + t$

$y = -1 - 2t$

2. 最終的な答え

求める直線の媒介変数表示は、

$x = 3 + t$

$y = -1 - 2t$ ($t$ は実数)

または $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ($t$ は実数)

**42.**

1. 解き方の手順

(1) 直線 $y = 7x + 1$ の法線ベクトルを求めます。

直線の式を $7x - y + 1 = 0$ と変形します。

法線ベクトルは、直線の式 $ax + by + c = 0$ において、$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で与えられます。

(2) 点 (-1, 4) と直線 $y = 7x + 1$ との距離を求めます。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、次の式で与えられます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

2. 最終的な答え

(1) 法線ベクトルの一つは $\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

(2) 点 (-1, 4) と直線 $7x - y + 1 = 0$ との距離は、

$d = \frac{|7(-1) - 4 + 1|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} = \frac{|-7 - 4 + 1|}{\sqrt{49 + 1}} = \frac{|-10|}{\sqrt{50}} = \frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

したがって、距離は $\sqrt{2}$ です。

**43.**

1. 解き方の手順

$\vec{c} = (3, -2)$ を $\vec{a} = (2, 1)$ と $\vec{b} = (1, 2)$ の線形結合で表します。

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる実数 $s$, $t$ を求めます。

$(3, -2) = s(2, 1) + t(1, 2)$

$3 = 2s + t$

$-2 = s + 2t$

この連立方程式を解きます。

1番目の式から $t = 3 - 2s$ を2番目の式に代入すると、

$-2 = s + 2(3 - 2s) = s + 6 - 4s = -3s + 6$

$3s = 8$ より $s = \frac{8}{3}$

$t = 3 - 2(\frac{8}{3}) = 3 - \frac{16}{3} = \frac{9 - 16}{3} = -\frac{7}{3}$

2. 最終的な答え

$\vec{c} = \frac{8}{3}\vec{a} - \frac{7}{3}\vec{b}$

**44.**

1. 解き方の手順

$\vec{a}$, $\vec{b}$ が線形独立であるとき、等式 $3\vec{a} + x(2\vec{a} - 3\vec{b}) = y(\vec{a} + 2\vec{b}) + \vec{b}$ が成り立つように、実数 $x$, $y$ の値を定めます。

等式を整理します。

$3\vec{a} + 2x\vec{a} - 3x\vec{b} = y\vec{a} + 2y\vec{b} + \vec{b}$

$(3 + 2x)\vec{a} - 3x\vec{b} = y\vec{a} + (2y + 1)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立なので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数がそれぞれ等しくなります。

$3 + 2x = y$

$-3x = 2y + 1$

この連立方程式を解きます。

1番目の式から $y = 3 + 2x$ を2番目の式に代入すると、

$-3x = 2(3 + 2x) + 1 = 6 + 4x + 1 = 4x + 7$

$-7x = 7$ より $x = -1$

$y = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1$

2. 最終的な答え

$x = -1$, $y = 1$