円Oにおいて、点Bにおける接線l上に点Pをとり、BP上に点Qをとる。直線APと円Oの交点をC、直線AQと円Oの交点をDとする。2点C,Dを通る直線とlの交点をRとする。与えられた条件のもとで、$\frac{1}{BP} + \frac{1}{BQ}$をBRを用いて表し、空欄を埋める。

1. 問題の内容

円Oにおいて、点Bにおける接線l上に点Pをとり、BP上に点Qをとる。直線APと円Oの交点をC、直線AQと円Oの交点をDとする。2点C,Dを通る直線とlの交点をRとする。与えられた条件のもとで、$\frac{1}{BP} + \frac{1}{BQ}$をBRを用いて表し、空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1)

* $\angle ADB = \angle ABP = 90^\circ$であるから、アイは$90^\circ$。

* $\angle ABD = \angle ARD$となる。なぜなら、線分ABが直径であるから、円周角の定理より$\angle ADB=90^{\circ}$. また、接弦定理より、$\angle ABP = 90^{\circ}$.

* 4点A,B,C,Dは円O上の点であるから、$\angle ABD = \angle ACD$となる。円周角の定理による。

よって、$\angle ABD = \angle ACD$となる。

* $\angle ABD = \angle ARD$, $\angle ABD = \angle ACD$より、$\angle ARD = \angle ACD$となる。

したがって、エはACD。ウはARDとなる。

* $\angle ARD = \angle ACD$より、4点A,C,D,Rは同一円周上にある。したがって、オはC, D, P, Q。

* 方べきの定理より、$RQ \cdot RP = RD \cdot RC$

したがって、カはRD-RC。キはRD・RC。

* $\frac{1}{BP} + \frac{1}{BQ} = \frac{1}{BR+RP} + \frac{1}{BR+RQ} = \frac{BR+RQ + BR+RP}{(BR+RP)(BR+RQ)} = \frac{2BR+RP+RQ}{(BR+RP)(BR+RQ)}$

$RD \cdot RC = BR^2$が成立。したがって、クは$\frac{1}{BR^2}$。

3. 最終的な答え

アイ：$90^\circ$

ウ：ARD

エ：ACD

オ：C, D, P, Q

カ：RD-RC

キ：RD・RC

ク：$\frac{1}{BR^2}$