ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$ が与えられている。このとき、以下の2つの値を求める。 (1) $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b})$ (2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$ が与えられている。このとき、以下の2つの値を求める。

(1) $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b})$

(2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$

2. 解き方の手順

(1) $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b})$ を展開する。

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 6\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - 3\vec{b} \cdot \vec{b}$

内積の性質 $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ と $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$、および $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ を用いる。

$2|\vec{a}|^2 + 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 3|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$2(3^2) + 5(-4) - 3(2^2) = 2(9) - 20 - 3(4) = 18 - 20 - 12 = -14$

(2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を展開する。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

内積の性質 $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ と $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ を用いる。

$|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$3^2 - 2(-4) + 2^2 = 9 + 8 + 4 = 21$

3. 最終的な答え

(1) $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = -14$

(2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 21$