ある木の真西の地点A、真南の地点Bから木の先端Pを見上げた角度は、それぞれ45°, 60°であった。A, B間の距離を測ったら16mであった。この木の高さPQを求めよ。ただし、目の高さは無視する。

1. 問題の内容

ある木の真西の地点A、真南の地点Bから木の先端Pを見上げた角度は、それぞれ45°, 60°であった。A, B間の距離を測ったら16mであった。この木の高さPQを求めよ。ただし、目の高さは無視する。

2. 解き方の手順

木の真下の点をQとする。PQの長さを$h$とすると、直角三角形APQにおいて、$AQ = PQ / \tan 45^\circ = h$となる。また、直角三角形BPQにおいて、$BQ = PQ / \tan 60^\circ = h / \sqrt{3}$となる。

三角形ABQは直角三角形であるから、三平方の定理より、

$AQ^2 + BQ^2 = AB^2$

$h^2 + \frac{h^2}{3} = 16^2$

$\frac{4}{3}h^2 = 256$

$h^2 = 256 \times \frac{3}{4} = 64 \times 3 = 192$

$h = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3}$ m