次の極限を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - n)$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - n)$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、式を有理化します。つまり、$\sqrt{n^2+n} + n$ を分子と分母にかけます。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+n} - n)(\sqrt{n^2+n} + n)}{\sqrt{n^2+n} + n}$

分子を展開します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}$

分子と分母を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$