与えられた表の空欄に、角度 $ \theta $ に対する $ \sin \theta $, $ \cos \theta $, $ \tan \theta $ の値を埋める問題です。ここで、$ \theta $ は $ 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ $ のいずれかの値を取ります。

1. 問題の内容

与えられた表の空欄に、角度 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を埋める問題です。ここで、$\theta$ は $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$ のいずれかの値を取ります。

2. 解き方の手順

三角関数の定義と、いくつかの有名な角度に対する三角関数の値を覚えておく必要があります。

- $\sin \theta$ について：

- $\sin 0^\circ = 0$

- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

- $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\sin 90^\circ = 1$

- $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

- $\sin 180^\circ = 0$

- $\cos \theta$ について：

- $\cos 0^\circ = 1$

- $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

- $\cos 90^\circ = 0$

- $\cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = - \cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

- $\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = - \cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = - \cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\cos 180^\circ = -1$

- $\tan \theta$ について：

- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ で計算できます。

- $\tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0$

- $\tan 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

- $\tan 45^\circ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

- $\tan 60^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

- $\tan 90^\circ$ は定義されません。($\cos 90^\circ = 0$ なので)

- $\tan 120^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

- $\tan 135^\circ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

- $\tan 150^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

- $\tan 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0$

3. 最終的な答え

| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ | $180^\circ$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| $\sin \theta$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |

| $\cos \theta$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | -1 |

| $\tan \theta$ | 0 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | 定義されない | $-\sqrt{3}$ | -1 | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 0 |