$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち一つの値が与えられたときに、残りの二つの値を求める。 (1) $\sin \theta = \frac{2}{5}$ (2) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$ (3) $\tan \theta = \sqrt{2}$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち一つの値が与えられたときに、残りの二つの値を求める。

(1) $\sin \theta = \frac{2}{5}$

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$

(3) $\tan \theta = \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{2}{5}$ のとき:

まず、三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$.

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\sin \theta > 0$ なので、$\theta$ は第一象限または第二象限の角である。

したがって、$0 < \theta < 180^\circ$となる。$\cos \theta$ は、第一象限では正、第二象限では負なので、$\theta$がどの象限にあるかで場合分けが必要。

場合1: $\theta$が第一象限の角の時、$\cos \theta > 0$ なので、$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$.

このとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/5}{\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$.

場合2: $\theta$が第二象限の角の時、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{21}}{5}$.

このとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/5}{-\sqrt{21}/5} = - \frac{2}{\sqrt{21}} = - \frac{2\sqrt{21}}{21}$.

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

したがって、$\sin \theta = \pm \frac{4}{5}$.

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\cos \theta = -\frac{3}{5} < 0$ なので、$\theta$ は第二象限の角である。

したがって、$\sin \theta > 0$ なので、$\sin \theta = \frac{4}{5}$.

このとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

(3) $\tan \theta = \sqrt{2}$ のとき:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であり、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係を利用する。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\tan \theta = \sqrt{2} > 0$ なので、$\theta$ は第一象限の角である。

したがって、$\cos \theta > 0$ なので、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{2}{5}$ のとき:

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$, $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{21}}{21}$

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき:

$\sin \theta = \frac{4}{5}$, $\tan \theta = -\frac{4}{3}$

(3) $\tan \theta = \sqrt{2}$ のとき:

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$