$\sqrt{17 - 2\sqrt{42}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{17 - 2\sqrt{42}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a - b}$ の形をしているので、$a = x + y$, $b = \sqrt{xy}$となるような$x, y$を見つけられれば、$\sqrt{a - b} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$と変形できます。

今回の場合、$17 - 2\sqrt{42}$の形なので、$17 = x + y$、$42 = xy$となる$x, y$を見つけます。

$x + y = 17$と$xy = 42$を満たす$x, y$は、連立方程式を解くことによって求めることができますが、$42 = 6 \times 7$であり、$6 + 7 = 13$、$42 = 2 \times 21$であり、$2 + 21 = 23$、$42 = 3 \times 14$であり、$3 + 14 = 17$と、$3$と$14$が見つかります。

したがって、$x = 14$, $y = 3$とすると、

$\sqrt{17 - 2\sqrt{42}} = \sqrt{14} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{14} - \sqrt{3}$