円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=BC=7, CD=5, DA=3である。 (1) 対角線ACの長さを求めよ。 (2) 対角線ACとBDの交点をEとするとき、DEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=BC=7, CD=5, DA=3である。

(1) 対角線ACの長さを求めよ。

(2) 対角線ACとBDの交点をEとするとき、DEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が成り立つ。

トレミーの定理より、

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

$7 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = AC \cdot BD$

$35 + 21 = AC \cdot BD$

$56 = AC \cdot BD$

$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle ADC = 180^\circ - \theta$となる。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 49 + 49 - 98 \cos \theta$

$AC^2 = 98 - 98 \cos \theta$

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\cos \theta)$

$AC^2 = 34 + 30 \cos \theta$

よって、

$98 - 98 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta$

$64 = 128 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$

$\theta = 60^\circ$

$AC^2 = 34 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 + 15 = 49$

$AC = 7$

(2) DEの長さを求める。

$\triangle ABE$と$\triangle CDE$において、円周角の定理より$\angle BAE = \angle DCE$

$\angle AEB = \angle DEC$ (対頂角)

よって、$\triangle ABE \sim \triangle CDE$である。

$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE}$

$\frac{7}{5} = \frac{AE}{DE}$

$AE = \frac{7}{5} DE$

また、$\triangle ADE$と$\triangle CBE$において、$\angle DAE = \angle BCE$

$\angle ADE = \angle CBE$

よって、$\triangle ADE \sim \triangle CBE$である。

$\frac{AD}{CB} = \frac{DE}{BE} = \frac{AE}{CE}$

$\frac{3}{7} = \frac{DE}{BE}$

$BE = \frac{7}{3} DE$

$AC = AE + CE = 7$

$BD = BE + DE$

$\frac{AE}{DE} = \frac{7}{5}$より、$AE = \frac{7}{5} DE$

$\frac{AE}{CE} = \frac{3}{7}$より、$CE = \frac{7}{3} AE = \frac{7}{3} \cdot \frac{7}{5} DE = \frac{49}{15} DE$

$AC = AE + CE = \frac{7}{5} DE + \frac{49}{15} DE = \frac{21}{15} DE + \frac{49}{15} DE = \frac{70}{15} DE = \frac{14}{3} DE = 7$

$DE = \frac{3}{14} \cdot 7 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: 7

(2) DEの長さ: 3/2