円に内接する四角形ABCDがあり、その4辺の長さがAB = BC = 7, CD = 5, DA = 3である。 (1) 対角線ACの長さを求める。 (2) 2つの対角線ACとBDの交点をEとしたとき、線分DEの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、その4辺の長さがAB = BC = 7, CD = 5, DA = 3である。

(1) 対角線ACの長さを求める。

(2) 2つの対角線ACとBDの交点をEとしたとき、線分DEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

三角形ADCにおいて、余弦定理を用いて、$\cos{\angle ADC}$を求める。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos{\angle ADC}$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos{\angle ADC} = 34 - 30 \cos{\angle ADC}$

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いて、$\cos{\angle ABC}$を求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cos{\angle ABC} = 98 - 98 \cos{\angle ABC}$

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度である。

したがって、$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$となり、$\cos{\angle ABC} = -\cos{\angle ADC}$となる。

$34 - 30 \cos{\angle ADC} = 98 + 98 \cos{\angle ADC}$

$-64 = 128 \cos{\angle ADC}$

$\cos{\angle ADC} = -\frac{1}{2}$

$\angle ADC = 120^{\circ}$

$AC^2 = 34 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) 線分DEの長さを求める。

三角形ADEと三角形BCEにおいて、

$\angle DAE = \angle BCE$ （円周角の定理より）

$\angle ADE = \angle ABE$ （円周角の定理より）

$\angle AED = \angle BEC$ （対頂角）

したがって、三角形ADEと三角形BCEは相似である。

$\frac{DE}{BE} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{7}$

$\frac{AE}{CE} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{7}$

$AC = AE + CE = 7$

$\frac{AE}{CE} = \frac{3}{7}$より、$7AE = 3CE$なので、$CE = \frac{7}{3}AE$

$AE + \frac{7}{3}AE = 7$

$\frac{10}{3}AE = 7$

$AE = \frac{21}{10}$

三角形CDEと三角形ABEにおいて、

$\frac{CE}{AE} = \frac{7}{3}$なので、$CE = \frac{7}{10} \times 7 = \frac{49}{10}$

$\frac{DE}{BE} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{7}$

トレミーの定理より、$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

$7BD = 7 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 35 + 21 = 56$

$BD = 8$

$BD = DE + BE = 8$

$BE = 8 - DE$

$\frac{DE}{8-DE} = \frac{3}{7}$

$7DE = 24 - 3DE$

$10DE = 24$

$DE = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: 7

(2) DEの長さ: $\frac{12}{5}$