$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\theta = \frac{\pi}{n}$ とおきます。$n \to \infty$ のとき $\theta \to 0$ となります。

このとき、$n = \frac{\pi}{\theta}$ なので、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\pi}{\theta} \sin \theta = \pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$

ここで、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ であることを利用します。

したがって、

$\pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = \pi \cdot 1 = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$