関数 $x^2 e^{3x}$ の $n$ 次導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $x^2 e^{3x}$ の $n$ 次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いて $n$ 次導関数を求めます。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求める公式で、以下のようになります。

$\qquad (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ です。

今回の問題では、$u(x) = x^2$ 、$v(x) = e^{3x}$ とします。

$u(x) = x^2$ の導関数は、

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u^{(k)}(x) = 0$ ($k \geq 3$)

$v(x) = e^{3x}$ の導関数は、

$v'(x) = 3e^{3x}$

$v''(x) = 3^2 e^{3x}$

一般に、$v^{(k)}(x) = 3^k e^{3x}$

ライプニッツの公式に当てはめると、

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (e^{3x})^{(k)}$

$u(x) = x^2$ の $(n-k)$ 次導関数は、$n-k \geq 3$ のとき $0$ になるため、$k$ は $n-k \leq 2$ を満たす必要があります。つまり、$k \geq n-2$ です。したがって、和は $k = n-2, n-1, n$ の場合にのみ考える必要があります。

$k = n-2$ のとき、

$\binom{n}{n-2} (x^2)^{(2)} (e^{3x})^{(n-2)} = \frac{n!}{(n-2)!2!} (2) (3^{n-2} e^{3x}) = n(n-1) 3^{n-2} e^{3x}$

$k = n-1$ のとき、

$\binom{n}{n-1} (x^2)^{(1)} (e^{3x})^{(n-1)} = \frac{n!}{(n-1)!1!} (2x) (3^{n-1} e^{3x}) = n (2x) 3^{n-1} e^{3x} = 2n x 3^{n-1} e^{3x}$

$k = n$ のとき、

$\binom{n}{n} (x^2)^{(0)} (e^{3x})^{(n)} = 1 (x^2) (3^n e^{3x}) = x^2 3^n e^{3x}$

よって、

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = n(n-1) 3^{n-2} e^{3x} + 2n x 3^{n-1} e^{3x} + x^2 3^n e^{3x}$

$= e^{3x} 3^{n-2} [n(n-1) + 6nx + 9x^2]$

3. 最終的な答え

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = 3^{n-2} e^{3x} [9x^2 + 6nx + n(n-1)]$