午前0時と正午に短針と長針が重なり、誤差なく動いている時計がある。この時計が5時ちょうどを指した後、最初に短針と長針が重なるのは何分後か。

1. 問題の内容

午前0時と正午に短針と長針が重なり、誤差なく動いている時計がある。この時計が5時ちょうどを指した後、最初に短針と長針が重なるのは何分後か。

2. 解き方の手順

まず、5時の時点で長針と短針がどれだけ離れているかを考えます。

時計の文字盤は360度で、12等分されているので、1時間あたり $360/12 = 30$ 度となります。

5時の時点では、長針は12の位置にあり、短針は5の位置にあるので、 $30 \times 5 = 150$ 度離れています。

次に、長針と短針の進む速さについて考えます。

長針は1時間で360度進み、短針は1時間で30度進みます。

したがって、長針は短針よりも1時間あたり $360 - 30 = 330$ 度多く進みます。

1分あたりでは、長針は短針よりも $330/60 = 5.5$ 度多く進みます。

長針が短針に追いつくまでの時間を $x$ 分とすると、長針は短針よりも $5.5x$ 度多く進みます。

この時、長針は短針よりも初期のずれである150度多く進むことになるので、以下の式が成り立ちます。

$5.5x = 150$

$x = \frac{150}{5.5} = \frac{1500}{55} = \frac{300}{11} = 27\frac{3}{11}$

3. 最終的な答え

$27\frac{3}{11}$ 分後