1から100までの整数の中で、以下の条件を満たす整数の個数をそれぞれ求める。 (1) 6で割り切れる数 (2) 4と6の少なくとも一方で割り切れる数 (3) 4でも6でも割り切れない数 (4) 4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数

1. 問題の内容

1から100までの整数の中で、以下の条件を満たす整数の個数をそれぞれ求める。

(1) 6で割り切れる数

(2) 4と6の少なくとも一方で割り切れる数

(3) 4でも6でも割り切れない数

(4) 4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数

2. 解き方の手順

(1) 6で割り切れる数

100を6で割った商を求める。

$100 \div 6 = 16 \cdots 4$

よって、6で割り切れる数は16個。

(2) 4と6の少なくとも一方で割り切れる数

4で割り切れる数の個数を$A$、6で割り切れる数の個数を$B$とする。4と6の最小公倍数は12なので、12で割り切れる数の個数を$C$とする。求める個数は、$A + B - C$で計算できる。

$A = \lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

$B = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$C = \lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

$A + B - C = 25 + 16 - 8 = 33$

よって、4と6の少なくとも一方で割り切れる数は33個。

(3) 4でも6でも割り切れない数

全体の数から、4または6で割り切れる数を引く。

全体の数は100個。4と6の少なくとも一方で割り切れる数は(2)より33個。

$100 - 33 = 67$

よって、4でも6でも割り切れない数は67個。

(4) 4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数

4で割り切れる数の個数を$A$、5で割り切れる数の個数を$B$、6で割り切れる数の個数を$C$とする。4と5の最小公倍数は20、4と6の最小公倍数は12、5と6の最小公倍数は30、4と5と6の最小公倍数は60である。

求める個数は、$A + B + C - (A \cap B) - (A \cap C) - (B \cap C) + (A \cap B \cap C)$で計算できる。

$A = \lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

$B = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

$C = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$A \cap B = \lfloor \frac{100}{20} \rfloor = 5$

$A \cap C = \lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

$B \cap C = \lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$

$A \cap B \cap C = \lfloor \frac{100}{60} \rfloor = 1$

$25 + 20 + 16 - 5 - 8 - 3 + 1 = 46$

よって、4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数は46個。

3. 最終的な答え

(1) 16個

(2) 33個

(3) 67個

(4) 46個