与えられた数列の和 $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + 25^2$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + 25^2$ を求める。

2. 解き方の手順

数列は奇数の二乗の和である。第$n$項は $(2n-1)^2$ で表される。

最終項は $25$なので、$2n-1 = 25$を解くと、$2n = 26$より、$n=13$となる。

したがって、求めるべき和は$\sum_{n=1}^{13} (2n-1)^2$となる。

これを展開すると、

$\sum_{n=1}^{13} (4n^2 - 4n + 1)$ となる。

$\sum$の線形性より、

$4\sum_{n=1}^{13} n^2 - 4\sum_{n=1}^{13} n + \sum_{n=1}^{13} 1$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$を用いると、

$4\frac{13(13+1)(2\cdot13+1)}{6} - 4\frac{13(13+1)}{2} + 13$

$=4\frac{13(14)(27)}{6} - 4\frac{13(14)}{2} + 13$

$=4\frac{13(14)(9)}{2} - 2(13)(14) + 13$

$=2(13)(14)(9) - 2(13)(14) + 13$

$=13(2(14)(9) - 2(14) + 1)$

$=13(2(14)(9-1)+1)$

$=13(2(14)(8) + 1)$

$=13(224+1)$

$=13(225)$

$=2925$

3. 最終的な答え

2925