円 $x^2 + y^2 - y = 0$ と直線 $ax + y - a = 0$ が異なる2点P, Qで交わるとする。 (1) 円の中心と半径を求めよ。 (2) $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 線分PQの長さが $\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - y = 0$ と直線 $ax + y - a = 0$ が異なる2点P, Qで交わるとする。

(1) 円の中心と半径を求めよ。

(2) $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 線分PQの長さが $\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を変形して中心と半径を求める。

$x^2 + y^2 - y = 0$

$x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2$

よって、円の中心は $(0, \frac{1}{2})$ で、半径は $\frac{1}{2}$ である。

(2) 円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が半径 $r$ より小さいことである。つまり、$d < r$ が成り立つ。

円の中心 $(0, \frac{1}{2})$ と直線 $ax + y - a = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|a \cdot 0 + \frac{1}{2} - a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|\frac{1}{2} - a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

$d < r$ より、

$\frac{|\frac{1}{2} - a|}{\sqrt{a^2 + 1}} < \frac{1}{2}$

両辺を2倍して、

$\frac{|1 - 2a|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 1$

$|1 - 2a| < \sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$(1 - 2a)^2 < a^2 + 1$

$1 - 4a + 4a^2 < a^2 + 1$

$3a^2 - 4a < 0$

$a(3a - 4) < 0$

$0 < a < \frac{4}{3}$

(3) 線分PQの長さが $\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるとき、$PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}$。円の中心をCとすると、線分PQの中点をMとすると、直角三角形CPMにおいて、$CP = \frac{1}{2}$ (半径), $PM = \frac{PQ}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。

したがって、$CM^2 + PM^2 = CP^2$。

$CM^2 = CP^2 - PM^2 = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.

$CM = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

直線と円の中心との距離 $d = CM = \frac{|\frac{1}{2} - a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|1 - 2a|}{2\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$|1 - 2a| = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗すると

$(1 - 2a)^2 = \frac{1}{2}(a^2 + 1)$

$1 - 4a + 4a^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}$

$2 - 8a + 8a^2 = a^2 + 1$

$7a^2 - 8a + 1 = 0$

$(7a - 1)(a - 1) = 0$

$a = \frac{1}{7}$ または $a = 1$

$0 < a < \frac{4}{3}$ であるから、どちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 円の中心: $(0, \frac{1}{2})$、半径: $\frac{1}{2}$

(2) $0 < a < \frac{4}{3}$

(3) $a = \frac{1}{7}, 1$