画像には、以下の2つの問題が含まれています。 (2) 不等式 $|x-4| \le 2x + 1$ を解け。 (3) 不等式 $|x+1| > 5x$ を解け。

1. 問題の内容

画像には、以下の2つの問題が含まれています。

(2) 不等式 $|x-4| \le 2x + 1$ を解け。

(3) 不等式 $|x+1| > 5x$ を解け。

2. 解き方の手順

**(2) 不等式 $|x-4| \le 2x + 1$ を解く**

絶対値を含む不等式を解くために、場合分けを行います。

(i) $x \ge 4$ のとき、 $|x-4| = x-4$ なので、不等式は $x-4 \le 2x+1$ となります。

これを解くと、 $-5 \le x$ となります。

$x \ge 4$ と $-5 \le x$ の共通範囲は $x \ge 4$ です。

(ii) $x < 4$ のとき、 $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ なので、不等式は $4-x \le 2x+1$ となります。

これを解くと、 $3 \le 3x$、すなわち $1 \le x$ となります。

$x < 4$ と $1 \le x$ の共通範囲は $1 \le x < 4$ です。

(i), (ii) より、解は $1 \le x < 4$ または $x \ge 4$ となり、これらを合わせると $x \ge 1$ となります。

**(3) 不等式 $|x+1| > 5x$ を解く**

絶対値を含む不等式を解くために、場合分けを行います。

(i) $x \ge -1$ のとき、 $|x+1| = x+1$ なので、不等式は $x+1 > 5x$ となります。

これを解くと、 $1 > 4x$、すなわち $x < \frac{1}{4}$ となります。

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$ です。

(ii) $x < -1$ のとき、 $|x+1| = -(x+1) = -x-1$ なので、不等式は $-x-1 > 5x$ となります。

これを解くと、 $-1 > 6x$、すなわち $x < -\frac{1}{6}$ となります。

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は $x < -1$ です。

(i), (ii) より、解は $-1 \le x < \frac{1}{4}$ または $x < -1$ となり、これらを合わせると $x < \frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$