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与えられた数列の一般項を求める問題、初項から第n項までの和が与えられた数列の一般項を求める問題、和 $S_n$ を求める問題、そして群数列に関する問題を解く。

代数学数列一般項和階差数列等比数列群数列
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項を求める問題、初項から第n項までの和が与えられた数列の一般項を求める問題、和 SnS_n を求める問題、そして群数列に関する問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) 数列 {an}:3,5,11,21,35,53,…\{a_n\}: 3, 5, 11, 21, 35, 53, \dots の一般項を求める。
階差数列を考えると、2, 6, 10, 14, 18, ...となり、さらに階差数列をとると4, 4, 4, 4, ...となるので、{an}\{a_n\} は階差数列が等差数列となる数列である。
an=a1+∑k=1n−1bka_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k
ただし、bkb_k は階差数列の第 k 項を表す。bk=2+4(k−1)=4k−2b_k = 2 + 4(k-1) = 4k - 2 であるから、
an=3+∑k=1n−1(4k−2)=3+4∑k=1n−1k−2∑k=1n−11=3+4(n−1)n2−2(n−1)=3+2n(n−1)−2(n−1)=3+2n2−2n−2n+2=2n2−4n+5a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k-2) = 3 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 3 + 4 \frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 3 + 2n(n-1) - 2(n-1) = 3 + 2n^2 - 2n - 2n + 2 = 2n^2 - 4n + 5
n=1n=1のとき、a1=2(1)2−4(1)+5=3a_1 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 3 となり、一致する。
(2) 数列 {an}:1,0,2,−2,6,−10,…\{a_n\}: 1, 0, 2, -2, 6, -10, \dots の一般項を求める。
階差数列を考えると、-1, 2, -4, 8, -16, ...となり、これは初項-1, 公比-2の等比数列である。
an=a1+∑k=1n−1bka_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k
ただし、bkb_k は階差数列の第 k 項を表す。bk=(−1)(−2)k−1=(−2)k−1b_k = (-1)(-2)^{k-1} = (-2)^{k-1} であるから、
an=1+∑k=1n−1(−2)k−1=1+1−(−2)n−11−(−2)=1+1−(−2)n−13=3+1−(−2)n−13=4−(−2)n−13a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1} = 1 + \frac{1 - (-2)^{n-1}}{1 - (-2)} = 1 + \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{3 + 1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{4 - (-2)^{n-1}}{3}
n=1n=1のとき、a1=4−(−2)03=4−13=1a_1 = \frac{4 - (-2)^0}{3} = \frac{4-1}{3} = 1 となり、一致する。
(3) Sn=n2−3nS_n = n^2 - 3n より、an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1} を用いて一般項を求める。
an=Sn−Sn−1=(n2−3n)−((n−1)2−3(n−1))=n2−3n−(n2−2n+1−3n+3)=n2−3n−n2+2n−1+3n−3=2n−4a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 3n) - ((n-1)^2 - 3(n-1)) = n^2 - 3n - (n^2 - 2n + 1 - 3n + 3) = n^2 - 3n - n^2 + 2n - 1 + 3n - 3 = 2n - 4
ただし、n≥2n \ge 2 のとき成り立つ。
n=1n=1 のとき、S1=a1=12−3(1)=−2S_1 = a_1 = 1^2 - 3(1) = -2
a1=2(1)−4=−2a_1 = 2(1) - 4 = -2 なので、an=2n−4a_n = 2n - 4 は n=1n=1 でも成り立つ。
(4) Sn=3nS_n = 3^n より、an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1} を用いて一般項を求める。
an=Sn−Sn−1=3n−3n−1=3n−1(3−1)=2⋅3n−1a_n = S_n - S_{n-1} = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3-1) = 2 \cdot 3^{n-1}
ただし、n≥2n \ge 2 のとき成り立つ。
n=1n=1 のとき、S1=a1=31=3S_1 = a_1 = 3^1 = 3
a1=2⋅31−1=2⋅30=2⋅1=2a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2 なので、a1=3a_1 = 3 である。
したがって、a1=3,an=2⋅3n−1(n≥2)a_1 = 3, a_n = 2 \cdot 3^{n-1} (n \ge 2).
(5) Sn=1×12+2×122+3×123+⋯+n×12nS_n = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2^2} + 3 \times \frac{1}{2^3} + \dots + n \times \frac{1}{2^n} を求める。
Sn=∑k=1nk(12)kS_n = \sum_{k=1}^n k (\frac{1}{2})^k
12Sn=∑k=1nk(12)k+1=∑k=2n+1(k−1)(12)k\frac{1}{2} S_n = \sum_{k=1}^n k (\frac{1}{2})^{k+1} = \sum_{k=2}^{n+1} (k-1) (\frac{1}{2})^k
Sn−12Sn=12Sn=12+∑k=2n12k−n12n+1=∑k=1n(12)k−n12n+1=12(1−(12)n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1S_n - \frac{1}{2} S_n = \frac{1}{2} S_n = \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2^k} - n \frac{1}{2^{n+1}} = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2})^k - n \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{\frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}
12Sn=1−22n+1−n2n+1=1−n+22n+1\frac{1}{2} S_n = 1 - \frac{2}{2^{n+1}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{n+2}{2^{n+1}}
Sn=2−n+22nS_n = 2 - \frac{n+2}{2^n}
(6) Sn=1×1+3×3+5×32+⋯+(2n−1)×3n−1S_n = 1 \times 1 + 3 \times 3 + 5 \times 3^2 + \dots + (2n-1) \times 3^{n-1} を求める。
Sn=∑k=1n(2k−1)3k−1S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1) 3^{k-1}
3Sn=∑k=1n(2k−1)3k=∑k=2n+1(2k−3)3k−13S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1) 3^k = \sum_{k=2}^{n+1} (2k-3) 3^{k-1}
Sn−3Sn=−2Sn=1+∑k=2n(2k−1−(2k−3))3k−1−(2n+1−1)3n=1+∑k=2n2⋅3k−1−2n⋅3nS_n - 3S_n = -2S_n = 1 + \sum_{k=2}^n (2k-1 - (2k-3)) 3^{k-1} - (2n+1 - 1) 3^n = 1 + \sum_{k=2}^n 2 \cdot 3^{k-1} - 2n \cdot 3^n
−2Sn=1+2∑k=1n−13k−2n⋅3n=1+23(1−3n−1)1−3−2n⋅3n=1−3(1−3n−1)−2n⋅3n=1−3+3n−2n⋅3n=3n(1−2n)−2-2S_n = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k - 2n \cdot 3^n = 1 + 2 \frac{3(1-3^{n-1})}{1-3} - 2n \cdot 3^n = 1 - 3(1-3^{n-1}) - 2n \cdot 3^n = 1 - 3 + 3^n - 2n \cdot 3^n = 3^n(1-2n) - 2
Sn=2n−12⋅3n+1S_n = \frac{2n-1}{2} \cdot 3^n + 1
(7) 群数列の問題：先頭から数えて100番目に現れる分数は何か。
第k群にはk個の分数がある。
第n群までの分数の総数は ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
n(n+1)2≤100\frac{n(n+1)}{2} \le 100 となる最大のnを求める。
n(n+1)≤200n(n+1) \le 200
n=13n = 13 のとき、13⋅14=182<20013 \cdot 14 = 182 < 200
n=14n = 14 のとき、14⋅15=210>20014 \cdot 15 = 210 > 200
したがって、100番目の分数は第13群にある。
13⋅142=91\frac{13 \cdot 14}{2} = 91 より、100番目の分数は第13群の9番目の分数である。
第13群は 113,213,…,1313\frac{1}{13}, \frac{2}{13}, \dots, \frac{13}{13} であるから、9番目の分数は 913\frac{9}{13}
(8) 群数列の問題：先頭から100番目までの総和を求めよ。
第13群までの総和に第14群の最初の9項の総和を加えればよい。
第k群の和は ∑i=1kik=1kk(k+1)2=k+12\sum_{i=1}^k \frac{i}{k} = \frac{1}{k} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{k+1}{2}
したがって第1群から第13群までの和は ∑k=113k+12=12∑k=113(k+1)=12(13⋅142+13)=12(91+13)=1042=52\sum_{k=1}^{13} \frac{k+1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{13} (k+1) = \frac{1}{2} (\frac{13 \cdot 14}{2} + 13) = \frac{1}{2} (91 + 13) = \frac{104}{2} = 52
第14群の最初の9項の和は ∑i=19i14=114∑i=19i=1149⋅102=4514\sum_{i=1}^9 \frac{i}{14} = \frac{1}{14} \sum_{i=1}^9 i = \frac{1}{14} \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{45}{14}
したがって、先頭から100番目までの総和は 52+4514=52⋅14+4514=728+4514=7731452 + \frac{45}{14} = \frac{52 \cdot 14 + 45}{14} = \frac{728 + 45}{14} = \frac{773}{14}

3. 最終的な答え

(1) an=2n2−4n+5a_n = 2n^2 - 4n + 5
(2) an=4−(−2)n−13a_n = \frac{4 - (-2)^{n-1}}{3}
(3) an=2n−4a_n = 2n - 4
(4) a1=3,an=2⋅3n−1(n≥2)a_1 = 3, a_n = 2 \cdot 3^{n-1} (n \ge 2)
(5) Sn=2−n+22nS_n = 2 - \frac{n+2}{2^n}
(6) Sn=2n−12⋅3n+1S_n = \frac{2n-1}{2} \cdot 3^n + 1
(7) 913\frac{9}{13}
(8) 77314\frac{773}{14}

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