$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{10^4}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{10^4}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形する。

$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{10^4}$ は $2^{-n} < 10^{-4}$ と書き換えられる。

両辺の常用対数（底が10の対数）をとると、

$\log_{10}(2^{-n}) < \log_{10}(10^{-4})$

$-n\log_{10}2 < -4$

$n\log_{10}2 > 4$

ここで、与えられた $\log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$n(0.3010) > 4$

$n > \frac{4}{0.3010}$

$n > \frac{4000}{301}$

$n > 13.289...$

$n$ は自然数なので、これを満たす最小の $n$ は14となる。

3. 最終的な答え

$n = 14$