次の連立不等式を解く問題です。 $\begin{cases} |2x-5|>1 \\ 3x-7 \le 5 \end{cases}$

## (1) 連立不等式の問題

1. 問題の内容

次の連立不等式を解く問題です。

$\begin{cases} |2x-5|>1 \\ 3x-7 \le 5 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

(i) $|2x-5| > 1$ を解く。

絶対値の性質より、

$2x-5 > 1$ または $2x-5 < -1$

$2x > 6$ または $2x < 4$

$x > 3$ または $x < 2$

(ii) $3x-7 \le 5$ を解く。

$3x \le 12$

$x \le 4$

(i), (ii) より、求める解は

$(x>3$ または $x<2)$ かつ $x \le 4$

したがって、$3 < x \le 4$ または $x < 2$

3. 最終的な答え

$x<2$ または $3<x \le 4$

## (2) 絶対値を含む不等式の問題

1. 問題の内容

不等式 $|5x+2| - |3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $x \ge \frac{2}{3}$ のとき

$5x+2 \ge 0$ かつ $3x-2 \ge 0$ なので、

$(5x+2) - (3x-2) \ge 2$

$5x+2-3x+2 \ge 2$

$2x+4 \ge 2$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

$x \ge \frac{2}{3}$ と $x \ge -1$ より、$x \ge \frac{2}{3}$

(ii) $-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ のとき

$5x+2 \ge 0$ かつ $3x-2 < 0$ なので、

$(5x+2) - (-(3x-2)) \ge 2$

$5x+2 + 3x-2 \ge 2$

$8x \ge 2$

$x \ge \frac{1}{4}$

$-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ と $x \ge \frac{1}{4}$ より、$\frac{1}{4} \le x < \frac{2}{3}$

(iii) $x < -\frac{2}{5}$ のとき

$5x+2 < 0$ かつ $3x-2 < 0$ なので、

$-(5x+2) - (-(3x-2)) \ge 2$

$-5x-2+3x-2 \ge 2$

$-2x-4 \ge 2$

$-2x \ge 6$

$x \le -3$

$x < -\frac{2}{5}$ と $x \le -3$ より、$x \le -3$

(i), (ii), (iii) より、

$x \le -3$ または $\frac{1}{4} \le x$

3. 最終的な答え

$x \le -3$ または $\frac{1}{4} \le x$