$x = \frac{1+a}{a}$, $y = \frac{1-a}{a}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $1 + xy$ (2) $x^2 - y^2$ (3) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

$x = \frac{1+a}{a}$, $y = \frac{1-a}{a}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $1 + xy$

(2) $x^2 - y^2$

(3) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

(1) $1 + xy$ を計算します。

$xy = \frac{1+a}{a} \cdot \frac{1-a}{a} = \frac{1-a^2}{a^2}$

$1 + xy = 1 + \frac{1-a^2}{a^2} = \frac{a^2 + 1 - a^2}{a^2} = \frac{1}{a^2}$

(2) $x^2 - y^2$ を計算します。

$x^2 = (\frac{1+a}{a})^2 = \frac{1 + 2a + a^2}{a^2}$

$y^2 = (\frac{1-a}{a})^2 = \frac{1 - 2a + a^2}{a^2}$

$x^2 - y^2 = \frac{1 + 2a + a^2}{a^2} - \frac{1 - 2a + a^2}{a^2} = \frac{1 + 2a + a^2 - 1 + 2a - a^2}{a^2} = \frac{4a}{a^2} = \frac{4}{a}$

(3) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$ を計算します。

$\frac{y}{x} = \frac{(1-a)/a}{(1+a)/a} = \frac{1-a}{1+a}$

$\frac{x}{y} = \frac{(1+a)/a}{(1-a)/a} = \frac{1+a}{1-a}$

$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{1-a}{1+a} - \frac{1+a}{1-a} = \frac{(1-a)^2 - (1+a)^2}{(1+a)(1-a)} = \frac{(1 - 2a + a^2) - (1 + 2a + a^2)}{1-a^2} = \frac{-4a}{1-a^2}$

3. 最終的な答え

(1) $1 + xy = \frac{1}{a^2}$

(2) $x^2 - y^2 = \frac{4}{a}$

(3) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{-4a}{1-a^2}$